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integration par partie comment choisir u et v

abdelouafiJan 9, 2018

    1. abdelouafi

      abdelouafi Administrator Staff Member

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      integration par partie comment choisir u et v:


      Présentation de la méthode
      Pour calculer une primitive d’une fonction f telle que f(x) se pr´esente comme un produit, il peut être intéressant d’appliquer cette méthode : elle consiste à chercher deux fonctions u et v continûment dérivables telles que uv′ = f, et à appliquer le théorème: Si u et v sont des fonctions continûment dérivables sur un intervalle, on a sur cet intervalle :
      upload_2018-1-9_21-33-35.png
      Rédaction de cette méthode:
      Une rédaction rigoureuse peut consister à présenter une définition des fonctions u et v, à vérifier que ces fonctions sont bien continûment dérivables, puis à montrer que f(x) = u(x)v ′ (x) et enfin `a appliquer la formule. Mais cette rédaction présente l’inconvénient d’être loin de la démarche pratique. C’est en effet u et v ′ que l’on choisit en premier et c’est dans un deuxième temps que l’on calcule v. Il est donc commode de rédiger comme dans l’exemple suivant :
      upload_2018-1-9_21-38-14.png


      upload_2018-1-9_21-37-43.png

      il est parfois nécessaire de faire plusieurs intégrations par parties à la suite pour arriver à une solution.
      Voici un exemple simple d'un pareil cas.

      [​IMG]

      première intégration par parties.

      Poser e^x = u -> e^x.dx = du
      et poser sin(x).dx = dv -> v = -cos(x)

      [​IMG] (1)
      ---
      Pour [​IMG]

      deuxième intégration par parties.

      Poser e^x = u -> e^x.dx = du
      et poser cos(x).dx = dv -> v = sin(x)

      [​IMG] (2)
      ---
      (2) remis dans (1) ->

      [​IMG]
      [​IMG]
      [​IMG]
      -----
      On peut évidemment trouver [​IMG] par d'autres manières, par exemple en utilisant les formules d'Euler pour le sin(x).
       

      Attached Files:

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