Exercices corrigés d'algèbre linéaire pdf | Exam-Lib
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Exercices corrigés d'algèbre linéaire pdf

abdelouafiJan 8, 2018

    1. abdelouafi

      abdelouafi Administrator Staff Member

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      Exercice 11. Applications à la chimie Equilibrer les réactions suivantes à l’aide d’un système linéaire.
      1. NaCl +BeF2 − − > NaF+BeCl2
      2. Fe +Cl2 − − > FeCl3
      3. KMnO4 +HCl − − > KCl +MnCl2 +H2O+Cl2
      4. K4Fe(CN)6 +H2SO4 +H2O− − > K2SO4 +FeSO4 +(NH4)2SO4 +CO
      5. C6H5COOH+O2 − − > CO2 +H2O
      6. K4Fe(CN)6 +KMnO4 +H2SO4 − − > KHSO4 +Fe2(SO4)3 +MnSO4 +HNO3 +CO2 +H2O
      7. PhCH3 +KMnO4 +H2SO4 − − > PhCOOH+K2SO4 +MnSO4 +H2O


      Exercice 13. Analyse des signaux Dans l’analyse des signaux, il est souvent nécesssaire de décomposer un signal f (t) en une superposition d’ondes exponentielles upload_2018-1-8_21-43-0.png
      Après avoir mesuré m fois le signal f (t) à des temps t = 0, 1,...,m −1, nous connaissons les valeurs f (0), f (1)..., f (m −1). Nous cherchons à trouver une fonction de la forme
      upload_2018-1-8_21-43-31.png
      qui interpole les valeurs mesurées pour les f (i)s, cad, telle que
      f (0) = g (0), f (1) = g (1),... f (m −1) = g (m −1)..

      1. Montrer que ceci est le cas si et seulement si
      upload_2018-1-8_21-44-10.png
      upload_2018-1-8_21-44-47.png


      Exercice 14. Applications à l’économie et la théorie de la stratégie. Un jeu de stratégie dont le but est le partage d’un butin oppose deux joueurs.
      A chaque tour un joueur peut choisir entre trois stratégies, 1, 2 et 3. Lorsque le stratégie i rencontre la stratégie j celui qui a joué i remporte une proportion mi j du butin. On note qu’on a donc upload_2018-1-8_21-45-32.png
      Un joueur a pour politique de jouer 1 avec probabilité p, 2 avec probabilité q et 3 avec probabilité r. On supposera que p,q, r > 0. On dit alors que ce joueur joue une stratégie (p,q, r).
      1. Calculer les gains esperés par son adversaire si ce adversaire joue 1 (resp. 2, resp. 3.) Nous notons ces gains N(1),N(2),N(3).



      2. Montrer qu’il n’existe pas de stratégie (p 0 ,q 0 , r 0 ) permettant un gain esperé de > 50% face à une stratégie (p,q, r) si et seulement si N(1) = N(2) = N(3) = 1/2. On dit alors que la stratégie (p,q, r) est stable.
      3. Ecrire les équations qui traduisent la stablité de la stratégie (p,q, r) et les résoudre dans les cas suivants :
      upload_2018-1-8_21-46-30.png




      Solution:

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