Exercice de logique mathématique avec correction

Logique et ensembles
Exercice 1.1.1 (✯) Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : (A⇒B) ⇔ (A ou B)

Exercice 1.1.2 (✯) Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : (A ou (B et C)) ⇔ ((A ou B) et (A ou C))

Exercice 1.1.3 (✯) Décrire les parties de R qui sont définies par les propositions (vraies) suivantes :
1) (x > 0 et x < 1) ou x = 0
2) x > 3 et x < 5 et x 6= 4
3) (x 6 0 et x > 1) ou x = 4
4) x > 0 ⇒ x > 2.

Quantificateurs
Exercice 1.1.4 (✯)
Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction définie sur I à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des propositions suivantes :
1) ∃ λ ∈ R, ∀ x ∈ I, f(x) = λ
2) ∀ x ∈ I, f(x) = 0 ⇒ x = 0
3) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ I, f(x) = y
4) ∀ (x, y) ∈ I 2 , x 6 y ⇒ f(x) 6 f(y)
5) ∀ (x, y) ∈ I 2 , f(x) = f(y) ⇒ x = y

Exercice 1.1.5 (✯)
Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction définie sur I à valeurs réelles.
Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :
1) la fonction f s’annule
2) la fonction f est la fonction nulle
3) f n’est pas une fonction constante
4) f ne prend jamais deux fois la même valeur
5) la fonction f présente un minimum
6) f prend des valeurs arbitrairement grandes
7) f ne peut s’annuler qu’une seule fois

Exercice 1.1.6 (✯)
Soient I un intervalle de R non vide et f :
I → R une fonction à valeurs réelles définie sur I.
Exprimer les négations des propositions suivantes :
1) ∀ x ∈ I, f(x) 6= 0
2) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ I, f(x) = y
3) ∃ M ∈ R, ∀ x ∈ I, |f(x)| 6 M
4) ∀ (x, y) ∈ I 2 , x 6 y ⇒ f(x) 6 f(y)
5) ∀ (x, y) ∈ I 2 , f(x) = f(y) ⇒ x = y
6) ∀ x ∈ I, f(x) > 0 ⇒ x 6 0

Exercice 1.1.7 (✯)
Soit f : R → R. Indiquer la différence de sens entre les deux propositions proposées :
1. ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R, y = f(x) et ∃ y ∈ R, ∀ x ∈ R, y = f(x).
2. ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R, y = f(x) et ∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R, y = f(x)
3. ∀ x ∈ R, ∃ M ∈ R, f(x) 6 M et ∃ M ∈ R, ∀ x ∈ R, f(x) 6 M



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