démontrer qu'il existe un unique point m tel que les vecteurs ma et mb soient colinéaires | Exam-Lib
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démontrer qu'il existe un unique point m tel que les vecteurs ma et mb soient colinéaires

abdelouafiJan 8, 2018

    1. abdelouafi

      abdelouafi Administrator Staff Member

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      Dans le plan muni d'un repère, on donne les points
      A (3;2) B(-1;-2) C(-1;2) D(3;0)
      a) demontrer qu'il existe un point M unique tel que les vecteurs MA ET MB d'une part, MC et MD d'autre part soient colinéaires.
      b) Que représente le point M pour le quadrilatère ADBC?

      Guide de resolution :

      a) on nomme ( x;y) les coordonnées du point M .
      Déterminer, en fonction de x et de y , les coordonnées des vecteurs indiqués
      Resoudre le systeme obtenu; il n'admet qu'une seule solution

      b/ Faire une figure et utiliser les equations de droites pour demontrer

      coordonnées d'un vecteur = coordonnées de l'extrémité - coordonnée de l'origine
      A (3;2) M(x;y) ---> [​IMG](x-3;y-2)
      On dis que les coordonnées sont proportionnelles.
      si [​IMG] alors[​IMG]et [​IMG] donc [​IMG] donc [​IMG] etc...
      Solution: Eléments de réponse:


      Il faut que tu détermines les coordonnées des vecteurs MA et MB, et que tu écrives qu'ils sont colinéaires :
      Quand tu auras : X(MA) = xA - xM et Y(MA) = yA - yM
      X(MB) = xB - xM et Y(MB) = yB - yM
      tu vérifies que : Y(MA) / X(MA) = Y(MB) / X(MB)


      on sait que M(Xm;Ym), A (3;2) et B(-1;-2)
      donc, MA(3-xm; 2-ym) et MB(-1-xm; -2-ym)
      dire MA et MB sont colinéaire revient à dire x(MA)*y(MB)-y(MA)*x(MB) = 0
      donc nous avons le système (3-xm)*(-2-ym)=0
      -(2-ym)*(-1-xm)=0
      par le système de linéarité
      XmYm + 2Xm - 3Ym = 6
      XmYm + 2Xm + yM = 2

      -2Ym = 8
      Ym = -4

      pour trouvé Xm, on remplace Ym par sa valeur
      -4Xm + 2 Xm - 3(-4)=6
      -2Xm -12 = 6
      -2Xm = 6
      Xm = -3

      donc, le point M(-3;-4)
       
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