Comatrice. Matrice adjointe: comatrice 2x2 .comatrice d'une matrice pdf | Exam-Lib
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Comatrice. Matrice adjointe: comatrice 2x2 .comatrice d'une matrice pdf

abdelouafiJan 6, 2018

    1. abdelouafi

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      Comatrice. Matrice adjointe
      Soit [​IMG] une matrice carrée d'ordre [​IMG] et [​IMG] le cofacteur de l'élément [​IMG] .


      Définition : Comatrice / Matrice Adjointe
      On appelle comatrice (ou matrice adjointe) de A, la matrice carrée d'ordre [​IMG] , notée [​IMG] (ou [​IMG] ) définie par :

      [​IMG] ,

      [​IMG] est le cofacteur de l'élément [​IMG] de [​IMG] défini à partir du mineur [​IMG] par la relation : [​IMG]


      Définition : Matrice Inverse
      On appelle matrice inverse de la matrice carrée [​IMG] d'ordre [​IMG] , la matrice, si elle existe, notée [​IMG] telle que : [​IMG] , obtenue par la relation suivante :

      [​IMG] ,

      [​IMG] est la transposée de la comatrice de [​IMG] .

      Propriété
      Si [​IMG] et [​IMG] sont deux matrices carrées inversibles et du même ordre, alors : [​IMG] .


      Exemple
      Calcul de la matrice inverse de [​IMG]

      [​IMG]

      [​IMG]

      Calcul de la matrice inverse de [​IMG]

      [​IMG]

      [​IMG]

      [​IMG] ;

      d'où [​IMG]


      Remarque : Cas particulier : matrices diagonales d'ordre 2 et 3
      • Si [​IMG]

        [​IMG] ,

        d'où [​IMG]
      • Si [​IMG]

        [​IMG] ,

        d'où [​IMG]

        Dans une matrice diagonale, la matrice inverse est obtenue en inversant les éléments diagonaux.
      Soit A = (a ij) une matrice carrée d'ordre n et D ij le cofacteur de l'élément a ij .

      Définitions



      • On appelle comatrice (ou matrice adjointe) de A, la matrice carrée d'ordre n, notée com(A) (ou adj A) définie par :
        [​IMG]
        où Dij est le cofacteur de l'élément a ij de A défini à partir du mineur |Mij| par la relation :


        D ij = (-1)i + j |M ij|.
      • On appelle matrice inverse de la matrice carrée A d'ordre n, la matrice, si elle existe, notée A-1 telle que :
        A A-1 = A-1 A = I obtenue par la relation suivante :
        [​IMG]
        où tcom(A) est la transposée de la comatrice de A.

        Propriété

        Si A et B sont deux matrices carrées inversibles et du même ordre, alors :

        (AB) -1 = B-1 A-1
        Exemples


        Calcul de la matrice inverse de [​IMG] [​IMG]


        Calcul de la matrice inverse de [​IMG] [​IMG]
        Cas particuliers : matrices diagonales d'ordre 2 et 3.

        Si n = 2
        [​IMG]
        d'où [​IMG]

        Si n = 3
        [​IMG]
        d'où[​IMG]

        Dans une matrice diagonale, la matrice inverse est obtenue en inversant les éléments diagonaux.

       
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